मान लीजिए f(x) = intlimits_0^{x^2} {(t - 1)(t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9

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$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$.$f'(x) = 2x(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.क्रांतिक बिंदु $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं,जो कुल $7$ भिन्न बिंदु हैं।$f'(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f''(x)$ एक सम फलन है और $f'''(x)$ एक विषम फलन है।चूंकि $f'(x)$ $7$ घात का बहुपद है,इसलिए $f'''(x)$ $5$ घात का बहुपद है।चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $x = 0$,$f'''(x) = 0$ का एक मूल है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$f'(x)$ के किन्हीं दो मूलों के बीच $f''(x)$ का कम से कम एक मूल होता है। चूंकि $f'(x)$ के $7$ मूल हैं,इसलिए $f''(x)$ के $6$ मूल होंगे।इसी प्रकार,$f'''(x)$ के $5$ मूल होंगे। चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है और $x=0$ एक मूल है,शेष $4$ मूल मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होंगे,अर्थात $2$ धनात्मक और $2$ ऋणात्मक मूल।अतः,$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

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$\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx =$

वक्रों $y = \int\limits_{x^2}^{x^3} \sqrt{5 - t^2} \, dt$ और $x$-अक्ष के बीच का प्रतिच्छेदन कोण (जहाँ $x \neq 0$) ज्ञात कीजिए:

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

मान लीजिए $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ और $f$ एक सतत फलन है ताकि $f(2x) = f(x)$ हो। तो:

यदि $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए सत्य है,तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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